【题目】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点。
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1-BD-A的大小;
(3)在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD,若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由。
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】试题分析:(1)连结AB1交A1B于M,连结B1C,DM,由已知条件得四边形AA1B1B是矩形,由三角形中位线能证明B1C∥平面A1BD.(2)作CO⊥AB于O,建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小.(3)设E(1,x,0),求出平面B1C1E的法向量,利用向量法能求出存在点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD,且AE=
试题解析:
(1)连结AB1交A1B于M,连结DM,
因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以四边形AA1B1B是矩形,所以M为AB1的中点。
因为D是AC的中点,所以MD是三角形AB1C的中位线,
所以MD∥B1C。
因为MD平面A1BD,B1C
平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。
(2)作CO⊥AB于O,所以CO⊥平面ABB1A1,
所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz。
因为AB=2,AA1=,D是AC的中点。
所以A(1,0,0),B(-l,0,0),C(0,0, ),A1(1,
,0),
所以D(,0,
),
=(
,0,
),
=(2,
,0)。
设n=(x,y,z)是平面A1BD的法向量,
所以即
,令x=-
,则y=2,z=3,
所以n=(-,2,3)是平面A1BD的一个法向量。
由题意可知=(0,
,0)是平面ABD的一个法向量,
所以cos<n, >=
=
。
由题知二面角A1-BD-A为锐角,所以它的大小为。
(3)设E(1,x,0),则=(1,x-
,-
),
=(-1,0,-
),
设平面B1C1E的法向量m=(x1,y1,z1),
所以即
令z1=-
,则x1=3,y1=
,
m=(3, ,-
),又m·n=0,即-3
+
-3
=0,解得x=
,
所以存在点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=。
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【题目】一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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【题目】已知三棱台ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求证:BC1⊥平面AA1C1C
(2)点D是B1C1的中点,求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
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【题目】生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上。”这就是著名的欧拉线定理,在中,
分别是外心、垂心和重心,
为
边的中点,下列四个结论:(1)
;(2)
;(3)
;(4)
正确的个数为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知等差数列和等比数列
满足
,
,
.
(1)求的通项公式;
(2)求和: .
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据等差数列的
,
,列出关于首项
、公差
的方程组,解方程组可得
与
的值,从而可得数列
的通项公式;(2)利用已知条件根据题意列出关于首项
,公比
的方程组,解得
、
的值,求出数列
的通项公式,然后利用等比数列求和公式求解即可.
试题解析:(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.
所以an=2n1.
(2)设等比数列的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.所以.
从而.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知命题:实数
满足
,其中
;命题
:方程
表示双曲线.
(1)若,且
为真,求实数
的取值范围;
(2)若是
的充分不必要条件,求实数
的取值范围.
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【题目】“”是“对任意的正数
,
”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析:根据基本不等式,我们可以判断出“”?“对任意的正数x,2x+
≥1”与“对任意的正数x,2x+
≥1”?“a=
”真假,进而根据充要条件的定义,即可得到结论.
解答:解:当“a=”时,由基本不等式可得:
“对任意的正数x,2x+≥1”一定成立,
即“a=”?“对任意的正数x,2x+
≥1”为真命题;
而“对任意的正数x,2x+≥1的”时,可得“a≥
”
即“对任意的正数x,2x+≥1”?“a=
”为假命题;
故“a=”是“对任意的正数x,2x+
≥1的”充分不必要条件
故选A
【题型】单选题
【结束】
9
【题目】如图是一几何体的平面展开图,其中为正方形,
,
分别为
,
的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线
与直线
异面;②直线
与直线
异面;③直线
平面
;④平面
平面
.
其中一定正确的选项是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④
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