Question

【题目】如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．

（1）证明：平面；

（2）若二面角的大小为60°，求∠BDC的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz．

由题意知A(0，，2)，B(0，，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0，0)．

因为，所以Q．因为M为AD的中点，故M(0，，1)．

又P为BM的中点，故P，所以＝．

又平面BCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，故，故．

又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD．

（2）设m＝(x，y，z)为平面BMC的法向量，易得＝(－x0，，1)，＝(0，，1)，

所以取y＝－1，得m＝．

又平面BDM的一个法向量为n＝(1，0，0)，

所以是|cos〈m，n〉|＝，即．①

又BC⊥CD，所以·＝0，即(－x0，，0)·(－x0，，0)＝0，即x02＋y02＝2．②

联立①②，解得(舍去)或(舍去)或．

所以tan，又是锐角，所以．