Question

14．在△ABC中，点D在线段BC上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，则x的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{2}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 利用向量的运算法则和共线定理即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$=x（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）+$\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{CO}$=x•$\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{CO}|}{|\overrightarrow{CB}|}$=x，
∵$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，即$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{DC}$，∴0＜x＜$\frac{|\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴x的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$），
故选：C．

点评 本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟练掌握向量的运算法则和共线定理、模的运算性质等是解题的关键，属于中档题．