Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.

（1）当时，求证：；

（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.

解：（1）∵顶点在底面的射影是，

∴面，由面，∴.

∵，，，连，

∴，，，，

∴，则，∴.

由，，∴面，

由面，∴，

∵菱形，，

∴.

（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，

∵，则，∴.

∵，则，∴，

设面的法向量为，由，解得.

由与面所成角的正弦值为，即有，解得.

设面的法向量为，由，解得.

∴二面角的余弦值.