Question

2．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x²+y²=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为（$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）．

Answer 1

分析 设C（a，b）．根据点A、B的坐标利用待定系数法求得直线AB方程，然后根据点到直线的距离和不等式的性质得到a、b的数量关系，将其代入圆的方程即可求得a、b的值，即点C的坐标．

解答 解：设C（a，b）．则a²+b²=1，①
∵点A（2，0），点B（0，3），
∴直线AB的解析式为：3x+2y-6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．
则CF=$\frac{|2a+3b-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{13}×|\sqrt{2a•3b}-6|}{13}$，当且仅当2a=3b时，取“=”，
∴a=$\frac{3b}{2}$，②
联立①②求得：a=$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，b=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
故点C的坐标为（$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）．
故答案是：（$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）．

点评 本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．