Question

7．如图1已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边AD、AB的中点，将△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE，如图2，点G为AC的中点
（Ⅰ）求证：DG∥平面ABE；
（Ⅱ）求椎体G-ABE的体积．

Answer 1

分析 （I）连结EF，FG，则可证四边形EFGD是平行四边形，故GD∥EF，从而GD∥平面ABE；
（II）利用等面积法求出Rt△ABE斜边上的高h，则h为三棱锥A-BDE的高，于是V_G-ABE=V_D-ABE=V_A-BDE．

解答 证明：（I连结EF，FG，

∵F，G分别是AB，AC的中点，
∴FG∥BC，FG=$\frac{1}{2}BC$，
又在图1中，四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴DG∥EF，又DG?平面ABE，EF?平面ABE，
∴DG∥平面ABE．
解：（II）∵DG∥平面ABE，
∴V_G-ABE=V_D-ABE=V_A-BDE．
∵AB=2，AE=1，∴BE=$\sqrt{5}$，
∴Rt△ABE的斜边BE上的高h=$\frac{AB•AE}{BE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵平面ABE⊥平面BCDE，
∴A到平面BCDE的距离d=h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．