Question

（理）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN．可得∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角，然后在△AB₁N中分别算出三条边的长，利用余弦定理得cos∠AB₁N=0，可得∠AB₁N=90°，从而得到异面直线AB₁和BM所成角．

解答：解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN，则
∵MN∥BB₁，MN=BB₁，∴四边形BB₁NM是平行四边形，可得B₁N∥BM
因此，∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角
∵Rt△B₁C₁N中，B₁C₁=2，C₁N=1，∴B₁N=

5

∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=

13

又∵正方形AA₁B₁B中，AB₁=2

2

∴△AB₁N中，cos∠AB₁N=

5+8-13

2× 5 ×2 2

=0，可得∠AB₁N=90°
即异面直线AB₁和BM所成角为90°
故选：A

点评：本题在所有棱长均相等的正三棱柱中，求异面直线所成的角大小，着重考查了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识，属于基础题．