Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是

π

2

，若将f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，再向上平移

3

个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；       
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，

π

3

]，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．同理，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间．
（3）把条件整理可得m≤

1

f(x)-1

+f(x)-1，根据x的范围，求得f（x）的范围，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵

2π

ω

=2×

π

2

，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g(x)=sin[2(x-

π

6

)+φ]-b+

3

为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=

π

3

，b=

3

，
故f(x)=sin(2x+

π

3

)-

3

．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 -

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ ，(k∈Z)，
故函数的增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ ，(k∈Z)，
故函数的减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)．
（3）∵f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，f（x）＜0，
∴[f（x）-1]m≥f²（x）-2f（x）+2=[f（x）-1]²+1，
整理可得m≤

[f(x)-1]2+1

f(x)-1

，即 m≤

1

f(x)-1

+f(x)-1．
∵x∈[0，

π

3

]，∴0≤sin（2x+

π

3

）≤1，-

3

≤f（x）≤1-

3

，故-1-

3

≤f(x)-1≤-

3

．
则有 

-3-4 3

3

≤

1

f(x)-1

+f(x)-1≤

1-3 3

2

，故

1

f(x)-1

+f(x)-1 的最小值为

-3-4 3

3

，
故 m≤

-3-4 3

3

，即m取值范围是 (-∞，

-3-4 3

3

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，不等式的性质应用，函数的奇偶性，函数的恒成立问题，属于中档题．