Question

【题目】如图，在矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面平面，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）二面角的平面角余弦值为.

【解析】

(1)过点作于,过点作于,连接,证明即可；

(2)以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面的法向量,计算即可.

解：（1）证明：过点作,垂足为,过点作于,连接,如图所示；

∵平面平面,平面平面,∴平面,,

∴；

由题意知,

∴,

∴四边形是平行四边形,

∴；

又平面,平面,

∴平面；

（2）由已知,、互相垂直,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示；

则,,,

,,

设平面的法向量为,

则,

即,

令,则,,

∴；

设平面的法向量为,则,

易求得；

又,

∴二面角的平面角余弦值为.