Question

2．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx-\frac{1}{2}，x＞0}\\{x+\frac{1}{x}+1，x＜0}\end{array}\right.$，若方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a＞0）有四个不相等的实根，则$\frac{b+1}{a+2}$的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 分类讨论，从而确定函数的单调性及值域，从而化为方程x²+ax+b=0（a＞0）有两个不同的实根，且在（-∞，-1）∪（0，+∞）上；从而利用线性规划求解即可．

解答 解：①当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-$\frac{1}{2}$，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
故f（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
而f（1）=0，故f（x）∈[0，+∞）；
②当x＜0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+1，
故f（x）在（-1，0）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增；
且f（-1）=-1；故f（x）∈（-∞，-1]；
∵方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a＞0）有四个不相等的实根，
∴方程x²+ax+b=0（a＞0）有两个不同的实根，
且在（-∞，-1）∪（0，+∞）上；
若两个不同的实根在（-∞，-1）上，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4b＞0}\\{-\frac{a}{2}＜-1}\\{1-a+b＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{1-a+b＞0}\\{{a}^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，
作平面区域如下，
，
$\frac{b+1}{a+2}$的几何意义是阴影内的点与点A（-2，-1）连线的斜率，
而k_AB=$\frac{1+1}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{b+1}{a+2}$＞$\frac{1}{2}$；
若两个不同的实根分别在（-∞，-1）与（0，+∞）上，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-a+b＜0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
作平面区域如下，

$\frac{b+1}{a+2}$的几何意义是阴影内的点与点A（-2，-1）连线的斜率，
而k_AB=$\frac{0+1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
故$\frac{b+1}{a+2}$＜$\frac{1}{3}$；
∵a＞0，∴两个不同的实根不可能同时在（0，+∞）上，
综上所述，
$\frac{b+1}{a+2}$的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，同时考查了导数的综合应用．