Question

13．已知顶点是坐标原点，对称轴是x轴的抛物线经过点M（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）．
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点P（1，0），且与抛物线交于不同两点A，B，若|AB|=5，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设抛物线的方程为y²=2px，把M（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），代入方程得2=2p×$\frac{1}{2}$，由此能求出抛物线的标准方程．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入抛物线方程，求出弦长，利用|AB|=5，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意设抛物线的方程为y²=2px，
把M（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），代入方程得2=2p×$\frac{1}{2}$，
解得p=2，
所以抛物线的标准方程是y²=4x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（1，0）是抛物线的焦点．
若直线l垂直于x轴，则A（1，2），B（1，-2），此时|AB|=4，与题设不符；
若直线l与x轴不垂直，可令直线l的方程为y=k（x-1），再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
与抛物线方程联立，消去y可得k²x²-2（k²+2）+k²=0，于是x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=5，解得k=±2，
从而，所求直线l的方程为y=±2（x-1）．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．