Question

18．经过抛物线y²=2px（p≠0）的顶点O作两条弦OA和OB，若弦OA、OB的斜率k₁，k₂恰好是方程x²+6x-4=0的两个根，则直线AB的斜率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出A，B的坐标，可得直线AB的斜率为k=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：依题意设直线OA的方程为y=k₁x与y²=2px，联立解得A（$\frac{2p}{{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2p}{{k}_{1}}$），
同理B（$\frac{2p}{{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{2p}{{k}_{2}}$）
∴直线AB的斜率为k=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$，
∵弦OA、OB的斜率k₁，k₂恰好是方程x²+6x-4=0的两个根，
∴k₁+k₂=-6，k₁k₂=-4，
∴k=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．