Question

6．已知斜率为2的直线l被圆x²+y²+14y+24=0所截得的弦长为$4\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解．

解答 解：将圆的方程写成标准形式，得x²+（y+7）²=25，
所以，圆心坐标是（0，-7），半径长r=5．…（3分）
因为直线l被圆所截得的弦长是$4\sqrt{5}$，
所以，弦心距为$\sqrt{{5^2}-{{（\frac{{4\sqrt{5}}}{2}）}^2}}=\sqrt{5}$，
即圆心到所求直线l的距离为$\sqrt{5}$．…（6分）
因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x-y+b=0．
所以圆心到直线l的距离为$d=\frac{{|{7+b}|}}{{\sqrt{5}}}$，…（9分）
因此，$\frac{{|{7+b}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$
解得b=-2，或b=-12．…（11分）
所以，所求直线l的方程为y=2x-2，或y=2x-12．
即2x-y-2=0，或2x-y-12=0．…（13分）

点评 本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．