Question

17．函数$f（x）=\frac{{\sqrt{{x^2}-{x^4}}}}{{\left|{x-2}\right|-2}}$．给出函数f（x）下列性质：①函数的定义域和值域均为[-1，1]；②函数的图象关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④$\int_a^b{f（x）dx=0}$（其中a，b为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤M，N为函数f（x）图象上任意不同两点，则$\sqrt{2}＜\left|{MN}\right|≤2$．则关于函数f（x）性质正确描述的序号为（　　）

• A． ①②⑤
• B． ①③⑤
• C． ②③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①先求定义域，根据定义域化简函数解析式；
②根据函数奇偶性的定义进行判断．
③根据函数单调性的定义判断．
④根据奇函数的积分性质进行判断．
⑤根据两点间的距离的意义进行判断．

解答 解：要使函数有意义，需满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{x}^{4}≥0}\\{|x-2|≠2}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤1且x≠0，即函数的定义域为[-1，0）∪（0，1]，故①不正确．
根据函数的定义域可将函数解析式化简为$f（x）=\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{2-x-2}=-\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{x}$，
所以$f（-x）=\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{x}$=-f（x），即函数是奇函数，所以其图象关于原点对称；故②正确，
③∵函数的定义域是间断的，
∴函数在定义域内不单调，故③错误，
④∵函数f（x）在定义域上为奇函数，
∴$\int_a^b{f（x）dx=0}$，故④正确，
⑤∵M，N为函数f（x）图象上任意不同两点，所以|MN|＞0，而不是|MN|＞$\sqrt{2}$，故⑤错误，
故选：D

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，求出定义域后化简解析式是解决本题的关键．