Question

8．2015年12月10日开始，武汉淹没在白色雾霾中，PM2.5浓度在200微克～300微克/立方米的范围，空气质量维持重度污染．某兴趣小组欲研究武昌区PM2.5浓度大小与患鼻炎人数多少之前的关系，他们分别到气象局与该地区某医院抄录了12月10日至15日的武昌区PM2.5浓度大小与该地区因患鼻炎而就诊的人数，整理得到如下资料：

日期	12月10日	12月11日	12月12日	12月13日	12月14日	12月15日
PM2.5浓度 超过200的部分为x （微克/立方米）	10	11	13	12	8	5
就诊人数y（个）	22	25	29	26	16	12

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行实验．
（Ⅰ）若选取的是10号与15号的两组数据，请根据11至14号的数据，求出y关于x的线性回归方程；附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n），其回归直线$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）（{x}_{i}-\overline{x}）}{\sum_{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}，\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性方程是理想的，该问该小组所得线性回归方程是否理想？

Answer 1

分析 （1）求出$\overline{x}，\overline{y}$，代入回归系数公式求出$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}{b}$，得出回归方程；
（2）用回归方程检验10日和15日的数据，观察真实值与估计值的误差是否符合条件．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（11+13+12+8）=11.$\overrightarrow{y}$=$\frac{1}{4}$（25+29+26+16）=24，$\sum_{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=0×1+2×5+1×2+（-3）×（-8）=36.$\sum_{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0+4+1+9=14．
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{36}{14}$=$\frac{18}{7}$，$\stackrel{∧}{a}$=24-$\frac{18}{7}×11$=-$\frac{30}{7}$．
所以y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$．
（2）当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{150}{7}$，|22-$\frac{150}{7}$|=$\frac{4}{7}$＜2，
当x=5时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{60}{7}$，|12-$\frac{60}{7}$|=$\frac{24}{7}$＞2，
所以该小组所得的线性回归方程不是理想的．

点评 本题考查了线性回归方程的求法，属于基础题．