Question

13．点M，N分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁和B₁C₁的中点，则异面直线CM与DN所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{15}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{15}$
• D． $\frac{4}{15}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与DN所成的角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则N（1，2，2），D（0，0，0），C（0，2，0），M（2，2，1），
则$\overrightarrow{CM}$=（2，0，1），$\overrightarrow{DN}$=（1，2，2），
设异面直线所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{DN}|}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{DN}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
∴异面直线CM与DN所成的角的余弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．