Question

4．已知函数y=f（x）的定义R在上的奇函数，当x＜0时f（x）=x+1，那么不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集是（　　）

• A． $[{0，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪[{0，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪（{0，\frac{3}{2}}）$

Answer 1

分析 可设x＞0，从而有-x＜0，根据f（x）为奇函数及x＜0时f（x）=x+1便可得出x＞0时，f（x）=x-1，这样便可得出f（x）在（-∞，0），[0，+∞）上为增函数，并且$f（-\frac{1}{2}）=f（\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}$，讨论x：x＜0时，原不等式可变成$f（x）＜f（-\frac{1}{2}）$，从而有$x＜-\frac{1}{2}$，同理可以求出x≥0时，原不等式的解，求并集即可得出原不等式的解集．

解答 解：设x＞0，-x＜0，则：f（-x）=-x+1=-f（x）；
∴f（x）=x-1；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+1}&{x＜0}\\{x-1}&{x≥0}\end{array}\right.$；
∴$f（-\frac{1}{2}）=f（\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}$，且f（x）在（-∞，0），[0，+∞）上为增函数；
∴①若x＜0，由$f（x）＜\frac{1}{2}$得，f（x）$＜f（-\frac{1}{2}）$；
∴$x＜-\frac{1}{2}$；
②若x≥0，由f（x）$＜\frac{1}{2}$得，$f（x）＜f（\frac{3}{2}）$；
∴$0≤x＜\frac{3}{2}$；
综上得，原不等式的解集为$（-∞，-\frac{1}{2}）∪[0，\frac{3}{2}）$．
故选：B．

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求对称区间上的解析式的方法和过程，一次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及根据函数单调性解不等式的方法．