Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S_n+a_n=2n．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

分析 （1）计算a₁，a₂，a₃，…．猜测a_n=2-$\frac{1}{2n}$．
（2）利用数学归纳法即可证明．

解答 解：（1）a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{15}{8}$，…．
猜测a_n=2-$\frac{1}{2n}$．
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-$\frac{1}{2k}$，
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-$\frac{1}{2k}$，a_k+1=2-$\frac{1}{2k+1}$，
即当n=k+1时，命题成立．（11分）
根据①②得n∈N₊时，a_n=2-$\frac{1}{2n}$都成立．

点评 本题考查了递推关系、数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．