Question

9．观察下列不等式：
$1+\frac{1}{2^3}＜\frac{7}{6}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}＜\frac{29}{24}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}＜\frac{49}{40}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}＜\frac{37}{30}$，
…．
照此规律，第五个不等式为$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}＜$（　　）

• A． $\frac{26}{21}$
• B． $\frac{29}{20}$
• C． $\frac{67}{54}$
• D． $\frac{95}{78}$

Answer 1

分析 根据已知式子寻找右端分母与左侧最后一个分母的关系，分子与分母的关系，得出规律．

解答 解：$1+\frac{1}{2^3}＜\frac{7}{6}$=$\frac{14}{2×3×2}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}＜\frac{29}{24}$=$\frac{14+15}{3×4×2}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}＜\frac{49}{40}$=$\frac{49}{4×5×2}$=$\frac{29+20}{4×5×2}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}＜\frac{37}{30}$=$\frac{74}{5×6×2}$=$\frac{49+25}{5×6×2}$，
由上述式子可发现如下规律：
（1）各式右端分母为左端最后一个分母底数与其相邻整数的乘积的2倍．
（2）相邻两项分子的差为以5为公差的等差数列，
照此规律可以得到：$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}＜$$\frac{74+30}{6×7×2}$=$\frac{26}{21}$．
故选A．

点评 本题考查了归纳推理，寻找前4个式子的特点是解题关键．