Question

17．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），求圆C上的点到直线ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=-2距离的最小值．

Answer 1

分析 先求出圆和直线的直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，由此能求出圆上的点到直线的距离的最小值．

解答 解：以极点为坐标原点，以极轴为x轴正轴，建立平面直角坐标系，
∵圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，
即（x-1）²+（y-1）²=2，
∵直线ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$=-2，
∴直线直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y+4=0$，
圆心C（1，1）到直线$\sqrt{3}x+y+4=0$的距离d=$\frac{|\sqrt{3}+1+4|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{5+\sqrt{3}}{2}$，
∴圆C上的点到直线ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=-2距离的最小值：
${d}_{min}=\frac{5+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}=\frac{5+\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．