Question

12．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p²=$\frac{144}{9+7si{n}^{2}θ}$，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）先求出直线AB的方程，设P（4cosθ，3sinθ），求出P到直线AB的距离，由此能求出△ABP面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{144}{9+7si{n}^{2}θ}$，
∴9ρ²+7ρ²sin²θ=144，
由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，
可得曲线C的直角坐标方程为9x²+9y²+7y²=144．
即曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．…（5分）
（Ⅱ）∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，
∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为3x+4y-12=0，
设P（4cosθ，3sinθ），则P到直线AB的距离为：
d=$\frac{|12cosθ+12sinθ-12|}{5}$=$\frac{|12\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-12|}{5}$，
当θ=$\frac{5π}{4}$时，d_max=$\frac{|12\sqrt{2}+12|}{5}$，
∴△ABP面积的最大值为$\frac{1}{2}$×|AB|×$\frac{|12\sqrt{2}+12|}{5}$=6（$\sqrt{2}$+1）．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．