Question

4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则曲线${C_1}：{ρ^2}-2ρcosθ-1=0$上的点到曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）上的点的最短距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先分别将圆和直线的参数方程化成直角坐标系下的方程，再利用点到直线的距离公式得圆心到直线的距离．

解答 解：C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0，化为直角坐标方程为（x-1）²+y²=2，
则圆心坐标为（1，0），半径为$\sqrt{2}$．
曲线 C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）的普通方程为x+y-4=0．
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以要求的最短距离为d-r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的参数方程，以及利用点到直线的距离公式求解距离问题，属于基础题．