Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数t，求出直线l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程．
（Ⅱ）求出曲线C的直角坐标方程，从而求出直线l与曲线C交点的直角坐标，由此能求出直线l与曲线C交点的极坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，
∴直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}$=0．
（Ⅱ）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，得x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴直线l与曲线C交点的直角坐标为（1，-$\sqrt{3}$），（3，$\sqrt{3}$），
∴直线l与曲线C交点的极坐标为（2，$\frac{5π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．

点评 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线交点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．