Question

20．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，且满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，n∈N^*，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前10项和S₁₀=65．

Answer 1

分析 运用数列的恒等式a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{n+1}$，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，
可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$（n≥2），
即有a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+1，
前10项和S₁₀=2+3+…+11
=$\frac{1}{2}$×（2+11）×10=65．
故答案为：65．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的恒等式，考查等差数列的求和公式的运用，属于中档题．