Question

12．函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2016}$（0≤x≤$\frac{4π}{3}$）的零点为x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），则$\frac{cos（{x}_{1}+{x}_{2}）}{sin（{x}_{2}+{x}_{3}）}$=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤3π，2x₁+$\frac{π}{3}$+2x₂ +$\frac{π}{3}$=2•$\frac{3π}{2}$，2x₂+$\frac{π}{3}$+2x₃ +$\frac{π}{3}$=2•$\frac{5π}{2}$，求得x₁+x₂ 和 x₂+x₃ 的值，从而求得要求式子的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2016}$（0≤x≤$\frac{4π}{3}$）的零点为x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），
故函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=$\frac{1}{2016}$在[0，$\frac{4π}{3}$]上的交点的横坐标
分别为x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃）．
由0≤x≤$\frac{4π}{3}$，可得$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤3π，
∴2x₁+$\frac{π}{3}$+2x₂ +$\frac{π}{3}$=2•$\frac{3π}{2}$，2x₂+$\frac{π}{3}$+2x₃ +$\frac{π}{3}$=2•$\frac{5π}{2}$，
∴x₁+x₂ =$\frac{7π}{6}$，x₂+x₃ =$\frac{13π}{6}$．
则$\frac{cos（{x}_{1}+{x}_{2}）}{sin（{x}_{2}+{x}_{3}）}$=$\frac{cos\frac{7π}{6}}{sin\frac{13π}{6}}$=$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．