Question

16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos²θ=sinθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（-1，0），直线l与曲线C交于A、B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）先求出直线l的普通方程，再求出直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程是ρ²cos²θ=ρsinθ，由此能求出曲线C普通方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y=x²，能求出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为：x-y+1=0，
∴直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0，即$\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-1$，…（3分）
∵曲线C的极坐标方程是ρcos²θ=sinθ，∴ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴曲线C普通方程为：y=x²…（5分）
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y=x²，
得${t^2}-3\sqrt{2}t+2=0$，…8分
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

点评 本题考查直线l的极坐标方程与曲线C普通方程的求法|，考查|MA|•|MB|的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．