Question

5．已知函数f（x）=2（sin$\frac{π}{4}x+cos\frac{π}{4}x$）•cos$\frac{π}{4}x$-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可得周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（Ⅱ）由x∈[-1，1]可得$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，由三角函数可得值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin$\frac{π}{4}$xcos$\frac{π}{4}$x+2cos²$\frac{π}{4}$x-1
=sin$\frac{π}{2}$x+cos$\frac{π}{2}$x=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可解得4k-$\frac{3}{2}$≤x≤4k+$\frac{1}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[4k-$\frac{3}{2}$，4k+$\frac{1}{2}$]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[-1，1]，∴$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴f（x）在区间[-1，1]上的值域为[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属中档题．