Question

13．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x，m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为求函数h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数h（x）的单调区间，求出h（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m＞0，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{m}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{m}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{m}$）递减，在（$\sqrt{m}$，+∞）递增；
（2）f（x）与g（x）图象的交点个数，
即函数h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零点个数问题，
h′（x）=-$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，
∴h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，
∴h（x）_极小值=h（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）和x轴有1个交点，
即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个．

点评 本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察转化思想，函数的零点问题，是一道中档题．