Question

15．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）讨论点C的轨迹的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y），则由题知$\frac{y}{x-5}•\frac{y}{x+5}=m$，
即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{-25m}=1（x≠±5）$为点C的轨迹方程．…（4分）
（Ⅱ）当m＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线；
当m＜-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，点C的轨迹为圆心为（0，0），半径为5的圆；
当-1＜m＜0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆．…（12分）

点评 本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．