Question

6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为9π．

Answer 1

分析 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．

解答 解：如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA²=PF•PE，因为AE=$\sqrt{2}$，
所以侧棱长PA=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，PF=2R，
所以6=2R×2，所以R=$\frac{3}{2}$，
所以S=4πR²=9π．
故答案为：9π．

点评 本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．