Question

5．中国海警缉私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）．中国海警缉私船恰在走私船正南方18海里A处（如图）．现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线y=$\frac{9}{28}$x²；②定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；③中国海警缉私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2$\sqrt{7}$t．
（1）当t=1，写出走私船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警缉私船速度的大小；
（2）问中国海警缉私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？

Answer 1

分析 （1）t=1时，确定P的横坐标，代入抛物线方程可得P的纵坐标，利用|AP|，即可确定中国海警缉私船速度的大小；
（2）设中国海警缉私船的时速为v海里，经过t小时追上走私船，此时位置为（2$\sqrt{7}$t，9t²），从而可得v关于t的关系式，利用基本不等式，即可得到结论．

解答 解：（1）t=1时，P的横坐标x_P=2$\sqrt{7}$，代入抛物线方程y=$\frac{9}{28}$x²中，得P的纵坐标y_P=9．
由A（0，-18），可得|AP|=$\sqrt{757}$，得中国海警缉私船速度的大小为$\sqrt{757}$海里/时；
（2）设中国海警缉私船的时速为v海里，经过t小时追上走私船，此时位置为（2$\sqrt{7}$t，9t²）．
由vt=|AP|=$\sqrt{81（{t}^{4}+4）+352{t}^{2}}$，整理得v²=81（t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$）+352
因为t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$≥4，当且仅当t=$\sqrt{2}$时等号成立，所以v²≥81×4+352=26²，即v≥26．
因此，中国海警缉私船的时速至少是26海里才能追上走私船．

点评 本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．