Question

【题目】已知函数f（x）=e2x（ax2+2x﹣1），a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求证：过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切；
（Ⅱ）当x≤0时，f（x）+1≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）证明：当a=4时，f（x）=e2x（4x2+2x﹣1）， f'（x）=e2x2（4x2+2x﹣1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x）
设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0 ， f（x0）），
则曲线y=f（x）在点（x0 ， f（x0））处的切线方程为：y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），
因为切线过点P（1，0），所以﹣f（x0）=f'（x0）（1﹣x0），
即 ，
∵ ，∴ ，
设g（x）=8x3﹣14x+1，
∵g（﹣2）=﹣35＜0，g（0）=1＞0，g（1）=﹣5＜0，g（2）=37＞0
∴g（x）=0在三个区间（﹣2，0），（0，1），（1，2）上至少各有一个根．
又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程8x3﹣14x+1=0恰有三个根，
故过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切．
（Ⅱ）∵当x≤0时，f（x）+1≥0，即当x≤0时，e2x（ax2+2x﹣1）+1≥0，
∴当x≤0时， ，
设 ，
则 ，
设 ，则 ．
（i）当a≥﹣2时，∵x≤0，∴ ，从而m'（x）≥0（当且仅当x=0时，等号成立）
∴ 在（﹣∞，0]上单调递增，
又∵m（0）=0，∴当x≤0时，m（x）≤0，从而当x≤0时，h'（x）≤0，
∴ 在（﹣∞，0]上单调递减，又∵h（0）=0，
从而当x≤0时，h（x）≥0，即
于是当x≤0时，f（x）+1≥0，
（ii）当a＜﹣2时，令m'（x）=0，得 ，∴ ，
故当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
又∵m（0）=0，∴当 时，m（x）≥0，
从而当 时，h'（x）≥0，
∴ 在 上单调递增，
又∵h（0）=0，
从而当 时，h（x）＜0，即
于是当 时，f（x）+1＜0，
综合得a的取值范围为[﹣2，+∞）．
解法二：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=e2x（4x2+2x﹣1），
f'（x）=e2x2（4x2+2x﹣1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x），
设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0 ， f（x0）），
则曲线y=f（x）在点（x0 ， f（x0））处的切线方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），
因为切线过点P（1，0），所以﹣f（x0）=f'（x0）（1﹣x0），）
即 ，
∵ ，∴
设g（x）=8x3﹣14x+1，则g'（x）=24x2﹣14，令g'（x）=0得 ，
当x变化时，g（x），g'（x）变化情况如下表：

x
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴8x3﹣14x+1=0恰有三个根，
故过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切．
（Ⅱ）同解法一
【解析】（Ⅰ）方法一、求出f（x）的解析式和导数，设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0 ， f（x0）），求出切线的方程，代入P的坐标，整理成三次方程，运用两点存在定理，考虑方程的根的情况即可得证； 方法二、求出f（x）的解析式和导数，设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0 ， f（x0）），求出切线的方程，代入P的坐标，整理成三次方程，构造三次函数，求出导数和单调区间及极值，即可得证；（Ⅱ）由题意可得当x≤0时，e2x（ax2+2x﹣1）+1≥0，构造 ，设 ，求出导数，讨论a的范围，运用单调性即可得到a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．