Question

7．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），则cosβ=-$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式先求sinα，sin（α+β）的值，根据两角和与差的余弦函数公式可求cosβ，从而确定其值．

解答 解：∵cosα=$\frac{3}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
∵α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）═$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{5}{13}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．
故答案为：-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和与差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．