Question

2．一元二次不等式x²-3x+ab＜0（a＞b）的解集为{x|1＜x＜c}，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据二次函数的性质求出ab=2，根据基本不等式的性质求出代数式$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值即可．

解答 解：∵一元二次不等式x²-3x+ab＜0（a＞b）的解集为{x|1＜x＜c}，
∴1，c是方程x²-3x+ab=0的根，
∴1+c=3，c=ab，解得：ab=2，
故$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+ab}{a-b}$=（a-b）+$\frac{2}{a-b}$
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴（a-b）+$\frac{2}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当a-b=$\sqrt{2}$时“=”成立，
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题．