Question

7．如图，四面体OABC中，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，则x+y+z=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 在四面体OABC中，运用向量的多边形法则，求出$\overrightarrow{MN}$，结合条件由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示，并由空间向量基本定理，即可得到x，y，z，进而得到所求和．

解答 解：在四面体OABC中，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CN}$，
点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，
可得$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$），
则$\overrightarrow{MN}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）
=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$，
又$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，
可得x=-$\frac{2}{3}$，y=z=$\frac{1}{2}$，
则x+y+z=-$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查空间向量和应用，考查多边形法则，以及空间向量基本定理的运用，考查运算能力，属于基础题．