Question

12．从抛物线y²=16x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）若过点P（3，2）的直线l与轨迹E相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x₀，y₀）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；
（Ⅱ）利用点差法，求出直线的斜率，即可求出直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x₀，y₀）是抛物线上的点，D（x₀，0），
因为M是PD的中点，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因为点P在抛物线上，所以y₀²=16x，即4y²=16x，
所以y²=4x，所求点M轨迹方程为：y²=4x．              …（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，y₁+y₂=4，
因为A、B两点都在抛物线E上，则代入作差可得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1   …（10分）
∴直线l的方程为：x-y-1=0                      …（12分）

点评 本题主要考查求轨迹方程的方法，考查点差法的运用，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题．