Question

已知A，B，C是椭圆m：（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，
（Ⅰ）求椭圆m的方程；
（Ⅱ）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，且BC过（0，0），
则，
又∵，
∴∠OCA=90°，即，
又∵，设m：，
将C点坐标代入，得，解得c²=8，b²=4，
∴椭圆m：；
（Ⅱ）由条件知D（0，-2），
∵M（0，t），设直线l的斜率为k，
1°当k=0时，显然-2＜t＜2；
2°当k≠0时，设l：y=kx+t，
消y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0，
由Δ＞0，可得t²＜4+12k²， ①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点H（x₀，y₀），
则，y₀=kx₀+t=，
∴，
∵，
∴DH⊥PQ，即，
∴，化简，得t=1+3k²，②
∴t＞1，
将①代入②，得1＜t＜4，
∴t的范围是（1，4）；
综上t∈（-2，4）。