Question

13．已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直线l：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）是否存在k的值，使得直线l既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于a的方程，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）分别求出f（x）和g（x）的切线，从而判定f（x）和g（x）的公切线即可．

解答 解：（1）因为f'（x）=3ax²+6x-6a，
所以f'（-1）=0，
即3a-6-6a=0，所以a=-2．
（2）由（1）有f（x）=-2x³+3x²+12x-11，
则f'（x）=-6x²+6x+12=-6（x-2）（x+1），

x	（-∞，-1）	（-1，2）	（2，+∞）
f'（x）	-	+	-
f（x）

所以f（x）的增区间为（-1，2），减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（3）因为直线l恒过点（0，9），
设直线l切y=g（x）于点$（{x_0}，3x_0^2+6{x_0}+12）$，
因为g'（x₀）=6x₀+6，
所以切线方程是$y-（3x_0^2+6{x_0}+12）=（6{x_0}+6）（x-{x_0}）$，
将（0，9）代入得x₀=±1．
当x₀=-1时，切线方程为y=9．
当x₀=1时，切线方程为y=12x+9．
令f'（x）=0得-6x²+6x+12=0解之得x=-1或x=2．
当x=-1时，y=f（x）的切线方程是y=-18，
当x=2时，y=f（x）的切线方程是y=9，
所以y=9是曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线；
令f'（x）=12得-6x²+6x+12=12解之得x=0或x=1．
当x=0时，y=f（x）的切线方程是y=12x-11，
当x=1时，y=f（x）的切线方程是y=12x-10，
所以y=12x+9不是公切线．
综上，当k=0时，y=9是曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，导数的应用问题，是一道综合题．