Question

17．设a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．

Answer 1

分析 采用分析法，要证$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，只要证（-a-c）²-ac＜3a²，展开化简，合并同类项即可得到（a-c）（a-b）＞0．由a＞b＞c，a-c＞0，a-b＞0，即可得到（a-c）（a-b）＞0．

解答 解：由a＞b＞c，且a+b+c=0，
可得b=-a-c，a＞0，c＜0．
要证$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，
只要证（-a-c）²-ac＞3a²，即证a²-ac+a²-c²＞0，
即证a（a-c）+（a+c）（a-c）＞0，
即证a（a-c）-b（a-c）＞0，
即证（a-c）（a-b）＞0．
∵a＞b＞c，
则a-c＞0，a-b＞0，
∴（a-c）（a-b）＞0
∴$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的综合应用，属于基础题．