【题目】已知为实常数,函数.
(1)求函数的最值;
(2)设.
(i)讨论函数的单调性;
(ⅱ) 若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)最大值为,无最小值;(2)(i)答案见解析;(ii) .
【解析】试题分析:
(1)由函数的解析式可得 ,结合函数的定义域可知函数在上单调递增,在上单调递减,函数的最大值为,无最小值.
(2)(i)由题意可得, .分类讨论:
①当时, 在上是增函数;
②当时,函数在是增函数,在是减函数.
(ⅱ)由(i)知,当不合题意;
当时, ,解得.结合题意构造新函数,由函数的性质讨论可得的取值范围是.
试题解析:
(1)函数的定义域是.
令,得;令,得;
故函数在上单调递增,在上单调递减.
故函数的最大值为,无最小值.
(2)(i),
函数的定义域为,其导数.
①当时, ,函数在上是增函数;
②当时,在区间上, ;在区间上, .
所以函数在是增函数,在是减函数.
(ⅱ)由(i)知,当时,函数在上是增函数,不可能有两个零点;
当时, 在时增函数,在是减函数,此时为函数的最大值,
若,则最多有一个零点,不合题意,
所以,解得.
此时,且 ,
.
令,则 .
所以在上单调递增.
所以,即.
故函数有两个不同的零点, ,且, .
综上, 的取值范围是.
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【题目】小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在时,日平均派送量为单.若将频率视为概率,回答下列问题:
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;
②根据以上数据,设每名派送员的日薪为(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适?并说明你的理由.
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【题目】如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,∥,,点在线段上.
(I)当点为中点时,求证:∥平面;
(II)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.
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【题目】已知函数的图象过点,图象与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,求函数的值域;
(3)若方程在上有两个不相等的实数根,,求的值.
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【题目】【2018届宁夏育才中学高三上学期期末】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示),由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
由表中的数据显示, 与之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.
参考公式:
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【题目】扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物,该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡,俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000元,每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元,根据初步测算,每个销售价格满足函数,其中x是“扎比瓦卡”的月产量(每月全部售完).
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,该厂所获利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+利润).
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