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    【题目】已知函数有两个极值点.

    (1)求实数的取值范围；

    (2)求证： ，其中为自然对数的底数.

    【答案】(1) (2)见解析

    【解析】试题分析：(1) 由得， 有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ∵，∴，故只需证明： ， 等价于，不妨设，并令， ，利用导数可证明，从而可得结果.

    试题解析：(1)由得，

    记，则，

    当时， ，当时， ，

    ∴在上递增，在上递减，

    又， 时， ， 时， ，

    由题， 有两个极值点，即方程有两解，

    即的图象与直线有两个公共点，

    故.

    (2)∵，∴，故只需证明： ，

    由，作差得： ，

    因此， ，

    不妨设，并令， ，

    则，∴在上单调递减， ，

    即，即成立，于是原命题得证.

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