Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆，圆.

（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.

①证明：动圆圆心在一条定直线上运动；

②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）设直线的方程，根据弦的垂径定理结合点到直线的距离公式求解,注意斜率不存在的情况.

（2）①由垂径定理得到圆心到、两点的距离相等，再有两点距离公式建立等式，化简即可；②根据①设圆心的坐标，得到圆关于参数的一般形式，由此可得动圆经过与的交点，联立解方程组即可.

（1）如图：

当直线与轴垂直时，直线与圆相离，与题意不符；

当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，

圆心到直线的距离，

又，解得或.

直线的方程为或.

（2）①设动圆的圆心，半径为，

若动圆同时平分圆的周长、圆的周长，

则,，所以，

即 ，化简得.

过动圆圆心在直线上运动.

②动圆过定点，

设，动圆的半径，

整理得，

由得或.

所以动圆过定点，坐标为或.