【题目】定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax2
(1)当a=﹣1时,求函数f(x)在(﹣∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(﹣∞,0)上是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;
(2)[﹣,﹣
].
【解析】
试题(1)当a=﹣1时,函数表达式为f(x)=1+x﹣x2,可得f(x)在(﹣∞,0)上是单调增函数,它的值域为(﹣∞,1),从而|f(x)|的取值范围是[0,+∞),因此不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(﹣∞,0)上的有界函数.
(2)函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,即﹣3≤f(x)≤3在[1,4]上恒成立,代入函数表达式并化简整理,得﹣﹣
≤a≤
﹣
在[1,4]上恒成立,接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法,得到(﹣
﹣
)max=﹣
,(
﹣
)min=﹣
,所以,实数a的取值范围是[﹣
,﹣
].
解:(1)当a=﹣1时,函数f(x)=1+x﹣x2=﹣(x﹣)2+
∴f(x)在(﹣∞,0)上是单调增函数,f(x)<f(0)=1
∴f(x)在(﹣∞,0)上的值域为(﹣∞,1)
因此|f(x)|的取值范围是[0,+∞)
∴不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(﹣∞,0)上的有界函数.
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,
则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即﹣3≤f(x)≤3
∴﹣3≤ax2+x+1≤3
∴≤a≤
,即﹣
﹣
≤a≤
﹣
在[1,4]上恒成立,
∴(﹣﹣
)max≤a≤(
﹣
)min,
令t=,则t∈[
,1]
设g(t)=﹣4t2﹣t=﹣4(t+)2+
,则当t=
时,g(t)的最大值为﹣
再设h(t)=2t2﹣t=2(t﹣)2﹣
,则当t=
时,h(t)的最小值为﹣
∴(﹣﹣
)max=﹣
,(
﹣
)min=﹣
所以,实数a的取值范围是[﹣,﹣
].
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【题目】下列说法正确的是 ( )
A. “若,则
,或
”的否定是“若
则
,或
”
B. a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么是
的必要条件.
C. 命题“,使 得
”的否定是:“
,均有
”
D. 命题“ 若,则
”的否命题为真命题.
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【题目】已知圆,点
,直线
.
(1)求与圆相切,且与直线
垂直的直线方程;
(2)在直线上(
为坐标原点),存在定点
(不同于点
),满足:对于圆
上任一点
,都有
为一常数,试求所有满足条件的点
的坐标.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)设所求直线方程为,利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程,解方程可得
,则所求直线方程为
(2)方法1:假设存在这样的点,由题意可得
,则
,然后证明
为常数
为即可.
方法2:假设存在这样的点,使得
为常数
,则
,据此得到关于
的方程组,求解方程组可得存在点
对于圆
上任一点
,都有
为常数
.
试题解析:
(1)设所求直线方程为,即
,
∵直线与圆相切,∴,得
,
∴所求直线方程为
(2)方法1:假设存在这样的点,
当为圆
与
轴左交点
时,
;
当为圆
与
轴右交点
时,
,
依题意,,解得,
(舍去),或
.
下面证明点对于圆
上任一点
,都有
为一常数.
设,则
,
∴
,
从而为常数.
方法2:假设存在这样的点,使得
为常数
,则
,
∴,将
代入得,
,即
对
恒成立,
∴,解得
或
(舍去),
所以存在点对于圆
上任一点
,都有
为常数
.
点睛:求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知函数的导函数为
,其中
为常数.
(1)当时,求
的最大值,并推断方程
是否有实数解;
(2)若在区间
上的最大值为-3,求
的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
,直线
,设圆
的半径为1, 圆心在
上.
(1)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线方程;
(2)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且
过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
两点(点
均在第一象限),且直线
的斜率成等比数列,证明:直线
的斜率为定值.
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【题目】如果函数的定义域为R,且存在实常数
,使得对于定义域内任意
,都有
成立,则称此函数
为“完美
函数”.
(1)判断函数是否为“完美
函数”.若它是“完美
函数”,求出所有的
的取值的集合;若它不是,请说明理由.
(2)已知函数是“完美
函数”,且
是偶函数.且当0
时,
.求
的值.
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【题目】若为定义域
上的单调函数,且存在区间
(其中
,使得当
时,
的取值范围恰为
,则称函数
是
上的“优美函数”.
函数
是否为“优美函数”?若是,求出
的值;若不是,请说明理由.
若
为“优美函数”,求实数
的取值范围.
若函数
为“优美函数”,求实数
的取值范围.
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