Question

【题目】如果函数的定义域为R,且存在实常数,使得对于定义域内任意,都有成立,则称此函数为“完美函数”.

(1)判断函数是否为“完美函数”.若它是“完美函数”,求出所有的的取值的集合；若它不是,请说明理由.

(2)已知函数是“完美函数”,且是偶函数.且当0时，.求的值.

Answer 1

【答案】(1) 函数是“完美函数”, 的取值集合为：；(2)0.

【解析】

(1) 假设函数是“完美函数”,根据“完美函数”的定义,可以得到等式,判断等式是否恒成立即可；

(2)根据函数是“完美函数”,可以判断出函数的奇偶性,通过是偶函数,可以判断出函数的对称性,这样可以求出函数的周期,求出代数式的值.

(1) 假设函数是“完美函数”,于是有：

(舍去),

所以函数是“完美函数”, 的取值集合为：；

(2) 因为函数是“完美函数”,所以,所以是奇函数,

是偶函数,因此函数关于纵轴对称,而函数的图象向右平移一个单位长度得到的图象,因此的图象关于直线对称,即有

.

因此有,所以函数是4为周期的函数.

,

所以