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    【题目】已知函数.

    （1）证明：当时，函数在上是单调函数；

    （2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

    【答案】 (1)见解析;(2) .

    【解析】试题分析：

    （1）由题意得，再令，利用导数可得在取得最小值，且，于是，从而得到在上是单调递增函数．（2）由题意分离参数可得当时，恒成立．令，利用导数可得到当时，取得最小值，且，从而可得，即为所求的范围．

    试题解析：

    （1）∵，

    ∴，

    令，

    则，

    则当时，，单调递减；

    当时，，单调递增．

    ∴函数在取得最小值，且最小值为，

    ∴在上恒成立，

    ∴在上是单调递增函数．

    （2）由题意得当时，恒成立，

    ∴当时，恒成立．

    令，

    则，

    令，

    则.

    ∴时，单调递增，

    ∴，即．

    ∴当时，，单调递减；

    当时，，单调递增.

    ∴当时，取得最小值，且，

    ∴．

    故实数的取值范围为.

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    【题目】已知函数.

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    （2）若在上单调递减，求的最小值；

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