Question

【题目】过圆 ： 上的点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 .当 在 上运动时，记点 的轨迹为 .

（1）求 的方程；

（2）过点 的直线 与交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】试题分析：(1)由代入向量计算出 的轨迹为(2)利用韦达定理和弦长公式计算得，化简运用定义域给出范围

解析：（1）设点坐标，点坐标，点坐标，

由可得

因为在圆:上运动，

所以点的轨迹的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，，

所以．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立方程组消去，整理得，

因为点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒交于两点，

由韦达定理，得，，

所以，

，

在圆:，圆心到直线的距离为，

所以，

所以．

又因为当直线的斜率不存在时，，

所以的取值范围是．