Question

【题目】已知函数.

（1）若的零点为2，求；

（2）若在上单调递减，求的最小值；

（3）若对于任意的都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）由的零点为2，即，得到，即可求解实数的值；

（2）求得函数的定义域即函数的定义域为且，设，

根据复数函数的单调性，得到，即可求解；

（3）由（2）中函数的定义域，利用复合数函数的单调性，要使得对于任意的都有，得到，即可求解.

（1）由题意，函数，

因为的零点为2，即，所以，

即，则，即，解得.

（2）由，

可得函数满足，解得且，

即函数的定义域为，

又由函数，

设，

要使得函数在上单调递减，

根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，且在恒成立，

所以，解得或，

又因为，所以，即实数的最小值为.

（3）由（2）得，函数的定义域为且

根据复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，

要使得对于任意的都有，

可得，即，解得，

即实数的取值范围是.