Question

【题目】已知函数在区间上是单调函数．

（1）求实数的所有取值组成的集合；

（2）试写出在区间上的最大值；

（3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）因为为开口向上的二次函数，故其在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增. 函数在区间上是单调函数，等价于区间在对称轴的左边或者右边.列出不等式解出即可.

（2）讨论在上的单调性，分别求出其最大值,再写成分段函数的形式即可.

（3）根据题意写出,对任意，总有等价于且，则分别讨论与 的大小关系，找到其对应的与，代入即可解出答案.

解：（1）对称轴.

所以或.

（2）①当 ，即时.

函数在上单调递增.

所以.

②当，即时.

函数在上单调递减.

所以.

综上所述：.
（3）.

由题意得，，

画出函数的图像：

①当时，在单调递减.

所以，.

代入，解得，舍.

②当时，在单调递减，在上单调递增. ，.

代入，解得，所以，

③当时，在单调递减，在上单调递增. ， .

代入，化简得,解得或，

所以.

④当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

，.

代入，解得，所以，

⑤当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

，.

代入，解得，

综上所述：.即 .