Question

【题目】（本小题满分12分）已知函数，.

（Ⅰ）时，证明：；

（Ⅱ），若，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.第一问，对求导，再构造函数进行二次求导，通过对的分析，得到的最小值，从而得到，判断得出在内单调递增，从而求出最小值；第二问，构造，对求导，需构造函数进行二次求导，结合第一问的结论，可得在单调递减，然后对、、进行讨论，证明的最大值小于等于0即可.

试题解析：（Ⅰ）令p(x)＝f(x)＝ex－x－1，p(x)＝ex－1，

在(－1，0)内，p(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p(x) ＞0，p(x)单增．

所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f(x)≥0，

所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． 4分

（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h(x)＝－e－x－a，

令q(x)＝－e－x－a，q(x)＝－．

由（Ⅰ）得q(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 6分

（1）当a＝1时，q(0)＝h(0)＝0且h(0)＝0．

在(－1，0)上h(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，

所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． 7分

（2）当a＞1时，h(0)＜0，

x∈(－1，0)时，h(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．

即x∈(，0)时h(x)＜0，h(x)单调递减，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． 9分

（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，

x∈(0，＋∞)时，h(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．

即x∈(0， )时h(x)＞0，h(x)单调递增，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． 11分

综上，a的取值为1． 12分