Question

5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，a=$\frac{1}{2}$c+bcosC
（1）求B；
（2）若b=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）由a=$\frac{1}{2}$c+bcosC，利用余弦定理可得：a=$\frac{1}{2}$c+b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化为a²+c²-b²=ac，再利用余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$即可得出．
（2）利用S_△ABC=$\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，化为ac=4．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$，可得a+c=4．联立解出即可．

解答 解：（1）∵a=$\frac{1}{2}$c+bcosC，∴a=$\frac{1}{2}$c+b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化为a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，化为ac=4．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$，
∴2²=（a+c）²-2ac-ac，
∴a+c=4．
解得a=c=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．